GEOMETRIA NO ESPAÇO

SÓLIDOS

Sólido geométrico é a porção finita de espaço limitada por superfícies planas e curvas.

Dois sólidos são equivalentes se tiverem o mesmo volume.



POLIEDROS

Poliedro é o sólido geométrico limitado por superfícies planas (polígonos regulares ou irregulares), chamadas faces do poliedro; que se intersectam nos lados dos polígonos, chamadas arestas do poliedro, e nos vértices dos polígonos, chamados vértices do poliedro.

A superfície que limita um poliedro, ou seja, o conjunto de todas as faces do poliedro, chama-se superfície poliédrica.

A diagonal de um poliedro é o segmento de recta que une dois vértices não pertencentes à mesma face.


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ã 1993-98, Jorge Lagoa, António Ramos - Escola Secundária Josefa de Óbidos


 

POLIEDROS REGULARES

Poliedro regular convexo é o sólido geométrico em que todas as faces são polígonos regulares geometricamente iguais.

Existem apenas cinco poliedros regulares (conhecidos desde o século VI a.C.).



TETRAEDRO REGULAR

Tem quatro faces iguais (triângulos equiláteros);

Tem quatro vértices;

Tem seis arestas.



HEXAEDRO REGULAR (CUBO)

Tem seis faces iguais (quadrados);

Tem oito vértices;

Tem doze arestas.

O quadrado da diagonal de um cubo é igual ao triplo do quadrado da aresta:



OCTAEDRO REGULAR

Tem oito faces iguais (triângulos equiláteros);

Tem seis vértices;

Tem doze arestas.



DODECAEDRO REGULAR

Tem doze faces iguais (pentagonos regulares);

Tem vinte vértices;

Tem trinta arestas.



ICOSAEDRO REGULAR

Tem vinte faces iguais (triângulos equiláteros);

Tem doze vértices;

Tem trinta arestas.


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POLIEDROS IRREGULARES

PRISMAS E TRONCOS DE PRISMA

Prisma é o sólido geométrico limitado por dois polígonos geometricamente iguais e paralelos, de n lados (chamados bases), e por uma superfície prismática (chamada superfície lateral), constituída por n paralelogramos (chamados faces laterais).

Assim um prisma é constituído por:

bases: poligonos;

faces: paralelogramos;

arestas da base: lados dos polígonos das bases;

arestas laterais: lados dos paralelogramos que não pertençam às bases;

vértices: pontos de encontro das arestas;

altura: distância entre os planos das bases.

Se as faces laterais forem paralelogramos obliquângulos, chama-se prisma oblíquo. Se forem rectângulos, chama-se prisma recto.

Se as bases forem polígonos regulares, chama-se prisma regular.

Se as bases forem triângulos, chama-se prisma triângular. Se forem quadriláteros, chama-se prisma quadrangular. Se forem pentágonos, chama-se prisma pentagonal. Se forem hexágonos, chama-se prisma hexagonal. Etc.

Tronco de prisma ou prisma truncado é cada um dos sólidos poliédricos obtidos num prisma por um plano secante oblíquo em relação às bases e que encontra todas as superfícies laterais, sendo a secção de intersecção uma das bases do tronco de prisma e a outra uma das bases do prisma.

Tronco de prisma recto é aquele em que uma das bases é perpendicular às arestas laterais.

Os troncos de prisma têm o mesmo nome dos prismas que lhe deram origem.



PARALELEPÍPEDOS

Paralelepípedo é o prisma quadrangular limitado por três pares de paralelogramos paralelos e geometricamente iguais dois a dois; e doze arestas iguais quatro a quatro.

Ao paralelepípedo cujas faces são losangos (rombos), chama-se romboedro.

Paralelepípedo recto é aquele em que as faces laterais e as arestas laterais são perpendiculares às bases. Portanto, as faces laterais são rectângulos e as bases são paralelogramos.

Se for limitada por seis rectângulos, chama-se paralelepípedo rectângulo.

Se for limitada por seis quadrados, chama-se cubo ou hexaedro.

A diagonal de um paralelepípedo rectângulo é um segmento de recta cujos extremos são vértices que não pertencem a uma mesma face, sendo o quadrado do seu comprimento dado pela soma dos quadrados dos comprimentos das três arestas concorrentes num vértice:

O quadrado da diagonal de um cubo é igual ao triplo do quadrado da aresta:



PIRÂMIDES E TRONCOS DE PIRÂMIDE

Pirâmide é o sólido geométrico limitado por um polígono qualquer de n lados (chamado base) e por uma superfície piramidal com n triângulos (chamados faces laterais), que se encontram num ponto comum (chamado vértice da pirâmide).

Uma pirâmide é constituída por:

bases:polígonos;

faces laterais:triângulos;

arestas da base:lados do polígono da base;

arestas laterais:lados dos triângulos que não pertençam às bases;

vértices da base:vértices do polígono da base;

vértice da pirâmide:ponto de encontro das arestas laterias;

altura:distância do vértice da pirâmide ao plano da base.

Se a perpendicular à base, tirada pelo vértice, passar pelo centro da base, diz-se que é uma pirâmide recta. Senão, diz-se que é uma pirâmide oblíqua.

Se a pirâmide tiver como base um polígono regular e as arestas laterais forem todas iguais, diz-se que é uma pirâmide regular. Caso contrário, será pirâmide irregular.

Se as bases forem triângulos, chama-se pirâmide triangular; se as bases forem quadriláteros, chama-se pirâmide quadrangular (conforme a figura seguinte); se as bases forem pentágonos; chama-se pirâmide pentagonal; se as bases forem hexágonos; chama-se pirâmide hexagonal; etc. .

Tronco de pirâmide ou pirâmide truncada é o sólido poliédrico obtido de uma pirâmide, sendo a porção de pirâmide compreendida entre a base e um plano que corta a pirâmide em todas as arestas laterais, tendo por bases: a secção de intersecção e a base da pirâmide.

Se a secção plana de intersecção for paralela à base da pirâmide, verifica-se que as bases são polígonos semelhantes e as faces laterais são trapésios, obtendo-se o tronco de pirâmide de bases paralelas.

Tronco de pirâmide de bases paralelas regular é o tronco de pirâmide de bases paralelas obtido a partir de uma pirâmide regular, verificando-se que as faces laterais são trapésios isósceles iguais e as bases são polígonos regulares.

Os troncos de pirâmide têm o mesmo nome das pirâmides que lhes deram origem.

P o l i e d r o

Nº de faces (F)

Nº de vértices (V)

Nº de arestas (A)

F+V

Tetraedro

 

 

 

 

Cubo

 

 

 

 

Prisma

 

 

 

 

Pirâmide

 

 

 

 

Octaedro

 

 

 

 

Dodecaedro

 

 

 

 

Icosaedro

 

 

 

 

Qualquer dos poliedros apresentados nesta tabela, verifica sempre a relação:

A esta relação, descoberta pelo matemático suiço do século XVIII Leonard Euler, é conhecida por Relação de Euler.

| Cópia do quadro| | Quadro preenchido|



CILINDROS E TRONCOS DE CILINDRO

Cilindro é o sólido geométrico limitado por uma superfície cilindrica fechada e por duas superfícies planas paralelas que intersectam as geratrizes dessa superfície (bases).

Tronco de cilindro é o sólido geométrico limitado por uma superfície cilindrica e por duas superfícies secantes cuja intersecção não encontra a superfície (bases).



CONES E TRONCOS DE CONE

Cone é o sólido geométrico limitado por uma superfície cónica fechada, por um ponto de intersecção de todas as geratrizes dessa superfície (vértice do cone) e por uma superfície plana que intersecta todas as geratrizes dessa superfície (base).

Tronco de cone é o sólido geométrico limitado por uma superfície cónica e por duas superfícies planas, paralelas ou secantes (bases), Se as bases são paralelas, chama-se tronco de cone de bases paralelas.



SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

Superfície de revolução é toda a superfície gerada por uma linha plana (geratriz), que roda em torno de uma recta (eixo), durante uma volta.

Sólido de revolução é todo o sólido geométrico gerado pela rotação de uma superfície em torno de um eixo.



CILINDROS DE REVOLUÇÃO

Superfície cilíndrica de revolução é a superfície gerada por uma recta (geratriz) que roda em torno de uma recta (eixo), que lhe é paralela, sendo a sua distância constante (raio).

Cilindro de revolução é o sólido geométrico limitado por duas bases, geometricamente iguais e paralelas, de fronteira curvilínea e pela superfície lateral que as une (chamada superfície cilíndrica); pode considerar-se que é gerado por um rectângulo (rectângulo gerador), dando uma rotação completa em torno de um dos seus lados.



CONES DE REVOLUÇÃO

Superfície cónica de revolução é a superfície gerada por uma recta (geratriz) em torno de outra recta (eixo), que lhe é concorrente, formando sempre o mesmo ângulo.

Cone de revolução é o sólido geométrico limitado por uma base de fronteira curvilínea e pela superfície lateral gerada por um triângulo (chamada superfície cónica); pode considerar-se que é gerado por um triângulo rectângulo (triângulo gerador), dando uma rotação completa em torno de um dos seus catetos.



TRONCOS DE CONE DE REVOLUÇÃO

Tronco de cone de revolução é a porção de cone cpmpreendida entre a base de fronteira curvilínea e um plano que lhe é paralelo e intersecta o cone, corresponde ao sólido gerado por um trapésio rectângulo (trapézio gerador) que roda em torno do lado perpendicular às bases (eixo).



ESFERA

Esfera é o sólido geométrico limitado por uma superfície esférica, gerada pela rotação de uma semi-circunferência. Pode-se também defenir como sendo o lugar geométrico dos pontos do espaço que se encontram a igual distância de um ponto, chamado centro da esfera. A esfera pode considerar-se que é gerada por um semi-círculo, dando uma rotação completa em torno do seu diâmetro.



CUNHA ESFÉRICA

Cunha esférica é a porção de esfera compreendida entre dois semi-círculos que tem por origem um diâmetro da esfera.

O contorno de uma cunha esférica é formado por dois semi-círculos da esfera e a superfície esférica entre esses semi-círculos, chamada fuso esférico ou lúnula.



SEGMENTO ESFÉRICO

Segmento esférico de uma base é cada uma das partes de uma esfera separadas por um pplano que a intersecta, sendo o círculo a base do segmento esférico.

O contorno de um segmento esférico de uma base é formado por um círculo e a superfície esférica para um dos lados desse círculo, chamada calote esférica.

Segmento esférico de duas bases é a porção de esfera compreendida entre dois planos paralelos que intersectam a esfera, sendo o círculo a base desse segmento esférico.

O contorno de um segmento esférico de duas bases é formadp por dois círculos e a superfície esférica compreendida entre as bases, chamada zona esférica.



TORO ou ANEL

Toro é um sólido que resulta da rotação de um círculo em torno de um eixo que o não corta.


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PLANIFICAÇÃO



POLIEDROS REGULARES



PRISMAS RECTOS



PIRÂMIDES



CILINDRO DE REVOLUÇÃO



CONE



ESFERA

A planificação da esfera é impossível, ainda que algumas representações gráficas aproximadas sejam feitas como o mapa-mundi que se segue.



ÁREAS E VOLUMES DE SÓLIDOS

Superfície de um poliedro é a soma das superfícies das faces do poliedro.

Volume de um poliedro é a porção limitada de espaço ocupada pelo sólido poliédrico.


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Noção de volume

A bola de futebol manteve a área da superfície e diminui o volume.

A laranja manteve o volume, no entanto, aumentou a sua área.

Dois sólidos geométricos com o mesmo volume dizem-se equivalentes.



Princípio de Cavalieri

Se dois sólidos, assentes sobre um plano, são seccionados por todo o plano paralelo ao plano dado, segundo figuras com a mesma área, então os sólidos têm o mesmo volume.



ÁREAS E VOLUMES DE SÓLIDOS

V
PRISMAS RECTOS área da figura plana da base
CUBO
PARALELEPÍPEDO RECTÂNGULO
PIRÂMIDES área da figura plana da base
CILINDRO DE REVOLUÇÃO
CONE
ESFERA - -




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